典型的是，对于20世纪出现的两次物理学革命——广义相对论和量子物理学，数学都为它们的诞生事先准备好适当的工具。更具体地讲，那就是黎曼几何学和泛函分析。这就不由得令物理学家威格惊呼“数学的不可思议的有效性”（威格纳 E·Wigner，1902—1995，是1963年诺贝尔物理学奖的获得者）。其实这只不过是“新数学”锋芒小试而已，以后这类事还多着呢！

随便举两个例子：一个是群论在分子原子结构理论中的应用，一个是纤维丛在规范场理论中的应用，只不过它们都不在M·克莱因的论述范围之内。细心的读者会注意到《西方文化中的数学》止于非欧几何(第26章)，而狭义相对论(第27章)用的还是经典数学。可是在《数学与知识的探求》中，他已经推进到广义相对论和量子力学，而且就此止步。正如《古今数学思想》一样，他的时限设在1930年。对于这之前的数学与物理，这本书做了十分精彩的哲学概括。这些思想实际上已经深入到我们心中，成为我们认识世界的基础。

1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，1864－1909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。 

 在广义相对论中，爱因斯坦 (Einstein, 1879－1955) 使用了黎曼几何和能量计算。但是，这些智力工具并非是为物理学而建立的，它早已在纯数学内部发展起来。这类工具的出现早于爱因斯坦使用它们的时候。黎曼(Riemann, 1826－1866) 引进了现在称为黎曼微分几间的数学理论，在黎曼空间中，人们可以计算各种距离，可以有各种曲率的概念。人们习惯于把能量计算同里奇 (Ricci, 1853－1925) 的名字联系起来，利用它可以处理各种几何量及其在坐标变换下的变化。张量计算变得为人熟知则是由于爱因斯坦把它用于1916年发表的广义相对论中。爱因斯坦是从格罗斯曼 (Grossman, 1878－1936) 那里学到这种技术的。

另一个例子是在希尔伯脱空间中有关自轭变换的谱分裂的理论。这个理论的重要部分，即连续自轭算符的理论，是希尔伯脱 (Hilbert, 1862－1943) 以纯数学理论的形式建立的，它也不是从物理观测中得出的，但它们对于表述量子定律是必需的。

第三个例子是理论物理中的弦理论。在这个理论中，人们不止一次地用到抽象的和新发展的数学理论。威格纳（Wigner）写道：数学的巨大用途有些近乎神秘，不存在任何合理的解释。正是数学概念的这些令人吃惊的用途激发了统一我们的物理理论的要求 [Wigner 1960:2]。我们还可援引戴森 (Dyson) 的话：对于物理学家来说，数学不仅是用以计算各种现象的工具，而且还是使新理论得以建立的概念和原理的主要源泉 [Dyson 1968]。

不过，数学家并不总是成功的。按照戴森的说法，数学家曾多次错过推进科学的机会[Dyson 1972]。例如，麦克斯韦（Maxwell，1831－1879）方程发表于1873年，它为数学家提供了极其有意义的工作领域, 但却没有受到足够重视。如果他们立即着手研究这个问题，他们也许会比爱因斯坦早几十年发现相对论。

这个大胆的断言是基于如下的概念：麦克斯韦方程在某种变换群下形式不变。这个群一般说来是数学的重要课题。麦克斯韦方程在洛仑兹群下是不变的，而牛顿力学的方程则是在另一种群即伽利略 群下不变的。人们发现，洛仑兹群比伽利略群在数学上更简单，更优雅。假如人们早去研究这个群的数学性质，他们也许会发现狭义相对论。